La diagonale del quadrato. Breve storia della diagonalizzazione, da Pitagora a Gödel

Nel V secolo a.C., in una comunità filosofico-religiosa dell'Italia meridionale, qualcuno scoprì che la diagonale di un quadrato e il suo lato non hanno una misura comune. Non è un dettaglio geometrico minore: è la prima crepa documentata in un'idea che doveva reggere l'intero cosmo pitagorico, secondo cui ogni grandezza — musicale, astronomica, geometrica — si riduceva a un rapporto tra numeri interi. La tradizione tarda, racconta che chi rivelò il segreto, un certo Ippaso di Metaponto, fu punito con la morte. È un aneddoto splendido e probabilmente apocrifo; qui non ce ne occuperemo oltre, perché ciò che davvero conta di quella scoperta non è la leggenda che l'ha avvolta, ma la struttura logica della dimostrazione — una struttura che, con variazioni sorprendentemente fedeli, riapparirà in Cantor, in Russell, in Gödel, fino a Turing.

Questa è la storia di questa struttura diagonale, cioè la radice di 2 come la diagonale di un quadrato con lato 1. Il teorema di PITAGORA.

1. La dimostrazione

Vogliamo dimostrare che √2 non è un numero razionale — che non esistono interi p, q (con q≠0) tali che √2 = p/q.

Supponiamo per assurdo che lo sia, e che p/q sia già ridotta ai minimi termini (p e q privi di fattori comuni). Allora:

√2 = p/q ⇒ 2 = p²/q² ⇒ p² = 2 × q²

p² è pari, dunque p è pari (il quadrato di un dispari è sempre dispari). Scriviamo p = 2k. Sostituendo:

(2k)² = 2 × q² ⇒ 4k² = 2q² ⇒ q² = 2k²

Per lo stesso argomento, anche q² è pari, dunque anche q è pari. Ma avevamo assunto p e q privi di fattori comuni, e abbiamo appena mostrato che entrambi condividono il fattore 2. Contraddizione. Dunque √2 non è razionale. 

È una dimostrazione che ha attraversato venticinque secoli senza bisogno di correzioni, ed è già essa stessa, nella sua forma, il prototipo di tutto ciò che segue: si assume l'esistenza di un oggetto con una certa proprietà (qui, la coprimalità di p e q), si deriva meccanicamente una conseguenza, e la conseguenza smentisce l'assunzione di partenza.

2. Un dominio, non un assoluto

C'è però un punto che è facile trascurare, e che è invece il vero perno filosofico della vicenda. L'equazione x²=2 non ha soluzione, ma solo all'interno di ℚ Il mondo dei numeri razionali interi che era il sogno di Pitagora. Non appena si passa a ℝ, il mondo degli irrazionali algebrici, la soluzione esiste, banale: x=√2.

L'impossibilità non è dunque una proprietà assoluta del numero 2: è una proprietà relativa al dominio in cui si cerca la soluzione

Questo distingue nettamente due tipi di verità matematica, spesso confusi nel linguaggio comune:

• Gli assiomi strutturali di un sistema numerico, commutatività e associatività di somma e prodotto, distributività, esistenza di elemento neutro e di inverso, sono invarianti per estensione. Quando si passa da ℚ a ℝ, e poi da ℝ a ℂ, li si preserva deliberatamente: è proprio così che si definisce un'estensione legittima di un campo numerico.

• Gli enunciati di esistenza , “esiste x tale che x²=2”, “esiste x tale che x²=−1”, non sono affatto invarianti: sono falsi in un dominio e veri nell'estensione successiva. E sono proprio questi enunciati a motivare storicamente le estensioni: si passa da ℕ a ℤ per risolvere sempre x+a=b; da ℤ a ℚ per risolvere sempre a×x=b; da ℚ a ℝ (tra le altre ragioni) per risolvere x²=2; da ℝ a ℂ per risolvere x²=−1.

√2 occupa dunque un posto preciso in questa genealogia: è il primo caso storicamente documentato in cui un sistema numerico si rivela incompleto rispetto a un'operazione che esso stesso genera, l'estrazione di radice di un proprio numero. Apre un programma e un metodo che la matematica e la logica non hanno più abbandonato.

3. Cantor e la gerarchia nascosta dietro √2

Duemilatrecento anni dopo, Georg Cantor mostra che quel primo gradino nascondeva una scala molto più alta. √2 è irrazionale, ma resta, in un senso preciso, “vicino” a ℚ: è algebrico, cioè radice di un polinomio a coefficienti interi (x²−2=0). Cantor dimostra che l'insieme dei numeri algebrici 𝔸, che include ogni radice di ogni equazione polinomiale a coefficienti razionali, quindi infiniti irrazionali oltre a tutti i razionali, è numerabile: ha esattamente la stessa cardinalità (corrispondenza) di ℕ, detto anche aleph-zero. Si può, in linea di principio, elencare uno per uno tutti i numeri algebrici che esistono. E’ la scoperta della analisi dell’infinito. Un tema matematico e logico con profonde implicazioni anche filosofiche e religiose, visto che non era mai stato davvero definito e studiato prima, ma solo evocato.

Ma ℝ, l’insieme in sé non è numerabile. Cantor lo dimostra, ancora, con una argomentazione diagonale.

Assume che una funzione f elenchi (metta in corrispondenza biunivoca con ℕ) tutte le cifre decimali di tutti i numeri reali tra 0 e 1; si costruisce un numero D la cui n-esima cifra decimale differisce deliberatamente dalla n-esima cifra del numero che f associa a n; D non può comparire in nessuna posizione dell'elenco, perché differisce da ciascun numero elencato in almeno una cifra, ed è proprio quella sulla diagonale della tabella. Contraddizione con l'assunzione che f fosse una corrispondenza biunivoca completa.

La conseguenza è vertiginosa: se 𝔸 è numerabile e ℝ non lo è, la stragrande maggioranza dei numeri reali non è nemmeno algebrica, è trascendente, non radice di alcun polinomio a coefficienti razionali, π ed e sono gli esempi classici. La scoperta pitagorica, che sembrava aver già scandalizzato abbastanza rivelando che non tutto è razionale, si scopre essere solo il primo, mite gradino di una gerarchia (razionale → algebrico → reale) le cui stratificazioni più profonde restano invisibili fino a Cantor.

Cantor generalizza poi il proprio argomento in un teorema che vale per qualunque insieme, non solo per ℝ: dato un insieme X, non può esistere alcuna funzione suriettiva (corrispondenza totale) da X all'insieme delle parti P(X). Si assuma che f: X → P(X) sia suriettiva; si costruisce l'insieme diagonale D, formato da tutti gli elementi x di X tali che x non appartiene a f(x); se d è l'elemento tale che f(d)=D, chiedersi se d appartiene a D genera una contraddizione simmetrica in entrambe le direzioni. Dunque la cardinalità di X è sempre minore di quella di P(X) ed esistono infiniti di taglia sempre maggiore, senza fine.

4. Russell: la stessa mossa applicata a se stessa

Nel 1901, Bertrand Russell si chiede cosa accada applicando l'argomento di Cantor al caso limite estremo: l'insieme di tutti gli insiemi. Nella teoria ingenua della comprensione, ogni proprietà ben definita individua un insieme, si può definire l'insieme R di tutti gli insiemi che non contengono se stessi come elemento. Chiedersi se R appartiene a R produce una contraddizione pura, non aggirabile: se R∈R, allora per definizione R∉R; se R∉R, allora R soddisfa la condizione che lo definisce, dunque R∈R. A differenza del caso di Cantor, dove la diagonalizzazione produce una disuguaglianza di cardinalità, un risultato coerente all'interno di una teoria sana, qui la stessa mossa, applicata senza restrizioni alla nozione di insieme, fa collassare l'intero edificio logicista che Frege stava costruendo proseguendo il sogno pitagorico del fondamento logico della matematica.

La soluzione moderna, quasi una scorciatoia direi, consiste nel restringere la comprensione: si può solo “separare” un sottoinsieme da un insieme che già esiste, mai costruire un insieme dal nulla applicando una proprietà a un dominio illimitato. Con questa restrizione, R non è più nemmeno esprimibile, e non esiste in ZFC (acronimo che mette insieme gli assiomi della matematica moderna) un “insieme di tutti gli insiemi” su cui il teorema di Cantor possa esplodere.

5. Gödel: la stessa struttura spostata di un livello

Gödel, il più grande logico del secolo scorso, ha prodotto due teoremi distinti, che è importante non confondere:

• Il teorema di completezza (1929), la sua tesi di dottorato, che riguarda la logica del primo ordine in sé: dimostra che tutto ciò che è semanticamente valido (vero in ogni modello) è anche sintatticamente dimostrabile a partire dagli assiomi logici. Sintassi e semantica, a questo livello, coincidono esattamente.

• I teoremi di incompletezza (1931) che riguardano invece una teoria specifica costruita sopra quella logica, l'aritmetica di Peano, o qualunque teoria assiomatica abbastanza potente da formalizzare l'aritmetica. Qui Gödel, diagonalizzando la nozione di dimostrabilità su se stessa, costruisce un enunciato G che codifica l'affermazione “io, G, non sono dimostrabile in questa teoria”, e mostra che G è vero nel modello standard dei numeri naturali ma non dimostrabile all'interno della teoria stessa.

Il vero parallelo con √2 non è tanto con l'equazione p²=2q² , ma con la relazione tra dominio ristretto e dominio esteso isolata nel paragrafo 2. Proprio come x²=2 non ha soluzione dentro ℚ ma ne ha una guardando da fuori, da ℝ, così l'enunciato G non è dimostrabile dentro l'aritmetica, ma è vero se lo si guarda dall'esterna nel modello standard, o da una metateoria più forte. In entrambi i casi, la capacità di “risolvere” o “dimostrare” è relativa al sistema in cui ci si trova; la verità, semantica o aritmetica, può eccedere quello che il sistema più ristretto riesce a catturare al proprio interno. L'analogia è tra i due mancanze, uno algebrico, l'altro metamatematico.

6. Una coda: Turing

Nel 1936, Alan Turing applica lo stesso schema a un dominio ancora diverso: i programmi. Supponendo che esista un programma H capace di decidere, per ogni coppia (programma, input), se il programma si arresterà, Turing costruisce un programma, sempre con il metodo diagonale, D che, applicato a se stesso, fa deliberatamente il contrario di ciò che H predice per quel caso, generando la stessa contraddizione, nella stessa forma esatta, che abbiamo visto in Cantor e in Russell. Il problema della fermata è indecidibile: nessun algoritmo generale può risolverlo.

7. Perché questo importa

Quattro domini completamente diversi — numeri, insiemi, enunciati aritmetici, programmi — attraversati dalla stessa identica mossa dimostrativa nell'arco di venticinque secoli. Non è una coincidenza stilistica: è la scoperta ripetuta, in contesti sempre nuovi, dello stesso fatto logico — che ogni sistema sufficientemente espressivo da poter parlare (anche indirettamente) di se stesso genera, al proprio interno, un caso limite che il sistema non può catturare senza contraddirsi. I pitagorici lo scoprirono guardando un quadrato. Cantor guardando una tabella infinita di cifre. Russell guardando la nozione stessa di insieme. Gödel guardando la nozione stessa di dimostrazione. Il metodo e il modello pare il vero segreto custodito dalla diagonale: che i confini di un sistema si rivelano sempre, e solo, guardando cosa succede quando il sistema prova ad applicare se stesso a se stesso.