Partiamo un attimo da tre brevi ma concise definizioni in Garzanti Linguistica online:
▪︎ Sineddoche: figura retorica che trasferisce il significato da una parola a un’altra sulla base di un rapporto di contiguità quantitativa (p.e. la parte per il tutto, il tutto per la parte, l’individuo per la specie ecc.).
▪︎ Metonimia: figura retorica consistente nella sostituzione di un termine con un altro a esso contiguo; p.e. la causa per l’effetto (vivere del proprio lavoro), il contenente per il contenuto (bere un bicchiere di vino) ecc.
▪︎ Antonomasia: designazione di una persona o una cosa particolare con il nome comune invece che con quello proprio, per sottolinearne l’eccellenza (p.e. il Poeta per dire ‘Dante’); o, viceversa, designazione con il nome di un personaggio proverbiale di una persona che presenta le stesse sue qualità (p.e. un Don Giovanni, per ‘un conquistatore di donne’).
In tutto questo: l'antonomasia è una forma di sineddoche?
Direi che sarebbe meglio, per praticità generale, non per altro, tenere antonomasia e sineddoche separate: la sineddoche è una "mappatura", diciamo così, di rapporti logico-quantitativi che connotano il referente (una sua parte, il tutto, il suo genere o la specie di appartenenza), mentre l'antonomasia pone un focus sulla qualità del referente.
Se però dobbiamo proprio fare un assortimento, per praticità particolare, o personale, allora l'antonomasia è più prossima e assimilabile alla metonimia che non alla sineddoche: ciò in virtù del tipo di concettualizzazione, dal momento che sia nell'antonomasia che nella sineddoche, l'associazione di concetti si basa e si struttura sul contesto culturale, quindi informazioni condivise da uno o più gruppi di persone in una (o più) comunità linguistica, e non su un paradigma di proporzioni (come nella sineddoche).